Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2023 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiąż nierówność $$2\cos^2 x + 5\sin x \leq 4.$$

2. Boki trójkąta prostokątnego o polu 8 tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

3. Narysuj starannie wykres funkcji $$ f(x)= \left| \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) \right|.$$ Rozwiąż nierówność $\frac{1}{f(x)}\geq 2.$

4. Stosunek długości przekątnych rombu jest równy $3:5.$ Oblicz stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w romb.

5. Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku $a.$ Na przeciwległych bokach $AB$ i $CD$ zbudowano trójkąty równoboczne $ABM$ i $CDN$ położone wewnątrz kwadratu. Oblicz pole części wspólnej tych trójkątów.

6. Na prostej $l:\: 2x-y-1=0$ wyznacz punkty, z których odcinek o końcach $A(0, 1)$ oraz $B(0, 3)$ jest widoczny pod kątem $30^\circ$ (mówimy, że z punktu $P$ widać odcinek $AB$ pod kątem $\alpha,$ jeżeli $\angle APB = \alpha$).

Poziom rozszerzony

1. Wiedząc, że $\alpha$ jest kątem takim, że $\tg \alpha = \frac{2}{3},$ oblicz wartość $\sin(2\alpha+\frac{5}{4}\pi).$

2. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych równa się sumie średnic okręgu opisanego na tym trójkącie i okręgu wpisanego w ten trójkąt.

3. Dla jakich wartości parametru $a$ istnieją rozwiązania równania $$ \sin^4 x + \cos^4 x = a ? $$ Rozwiąż to równanie dla $a=\frac{7}{8}.$

4. Pole trapezu równoramiennego, opisanego na okręgu o promieniu 1, wynosi 5. Oblicz obwód czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu i trapezu.

5. Udowodnij (korzystając z podstawowych wzorów trygonometrycznych), że $$ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3 \cos x.$$ Wykorzystując ten wzór, uzasadnij, że $\cos \frac{\pi}{9}$ jest jednym z pierwiastków równania $$8t^3 - 6t - 1 = 0.$$ Znajdź dwa pozostałe jego pierwiastki.

6. W punktach $A(0,0),$ $B(3,0)$ i $C(0,2)$ ustawione są trzy znaczniki. Sensory robota pozwalają za ich pomocą ustalić, że z miejsca, w którym znajduje się on obecnie odcinek $AB$ widać pod kątem $\alpha=90^\circ,$ a odcinek $AC$ pod kątem $\beta=45^\circ.$ Ustalić położenie robota w układzie współrzędnych.