Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2023 r.

Poziom podstawowy

1. Znajdź wszystkie wartości parametru $p$, dla których punkty $A(p+1,1), B(-2p^2+2,-1) $ oraz $ C(p^3+p+2,3)$ leżą na jednej prostej.

2. Oblicz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach $A(3,-2), B(4,3)$ oraz $C(-6,5)$ oraz promień tego okręgu.

3. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym różnica długości podstawy $a$ i długości wysokości $h$ wynosi $2$, zaś kąt jaki tworzy krawędź boczna ostrosłupa z płaszczyzną podstawy to $30$ stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

4. W pewnym trapezie kąty przyległe do podstawy są równe $60$ oraz $45$ stopni, zaś różnica kwadratów podstaw to $20$. Oblicz pole tego trapezu.

5. Wiadomo, że w pewnym trójkącie równoramiennym o podstawie długości $a$ i różnych wysokościach długości $h$ oraz $H$ zachodzi równość $$a^2=hH.$$ Oblicz cosinus kąta przy podstawie trójkąta.

6. W pewnym równoległoboku kąt ostry ma miarę $60$ stopni, a stosunek kwadratów długości przekątnych wynosi $\frac{19}{7}$. Wyznacz stosunek długości boków tego równoległoboku.

Poziom rozszerzony

1. Rozważmy trójkąt o wierzchołkach $A(a,b), B(x_1,y_1)$ oraz $C(x_2,y_2)$, gdzie $a,x_1,x_2$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $r$, zaś $b,y_1,y_2$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $s$. Pokaż, że wtedy pole trójkąta $ABC$ jest równe $$ \frac{1}{2}\left|ab(r-1)(s-1)(s-r)\right|. $$

2. Uzasadnij, że jeśli $t_1,t_2,t_3$ są różnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a\neq0$, to punkty $(at_1^2,2at_1), (at_2^2,2at_2)$ i $(at_3^2,2at_3)$ nie mogą być współliniowe.

3. W trójkącie prostokątnym $ABC$ o kącie prostym w wierzchołku $C$ wybrano punkt $P$ w taki sposób, że trójkąty $PAB, PBC$ oraz $PAC$ mają równe pola. Znajdź długość odcinka $PC$, wiedząc, że suma kwadratów długości odcinków $PA$ oraz $PB$ wynosi $5$.

4. W pewien romb o kącie ostrym $60$ stopni i boku długości $a$ wpisano okrąg. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołki leżą w punktach styczności okręgu z bokami rombu.

5. Długości równoległych boków trapezu są równe $a$ i $b$, przy czym $a\ge b$. Znajdź długość odcinka do nich równoległego, który dzieli pole powierzchni trapezu na połowy.

6. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym suma długości wysokości ściany bocznej i krawędzi podstawy wynosi $10$, a kąt, jaki tworzy krawędź boczna z krawędzią podstawy to $45$ stopni. Oblicz pole powierzchni bocznej oraz objętość tego ostrosłupa.