Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2024 r.

Poziom podstawowy

  1. W przedziale wagonu kolejowego są naprzeciw siebie dwie ławki, z których każda ma pięć numerowanych miejsc. Wśród dziesięciu pasażerów czterech chce siedzieć twarzą w kierunku jazdy, a trzech - plecami. Na ile sposobów można rozmieścić tych pasażerów?

  2. Analiza sprzedaży czekolady w sklepie wykazała, że w kolejnych $10$ dniach ilość sprzedanych tabliczek czekolady tworzy dyskretny wykres funkcji kwadratowej. W pierwszym dniu sprzedano $37$ czekolad, w piątym $45$, a w dziewiątym tylko $21$. W którym dniu sprzedano najwięcej czekolad, w którym najmniej? Ile średnio sprzedawano tabliczek czekolady dziennie?

  3. Niech $D$ będzie obszarem ograniczonym wykresami parabol o równaniach $$f(x) = x^2 -4x +5 \;\;\;\mbox{oraz}\;\;\;g(x) = -x^2+8x-5.$$ Znajdź prostokąt o najmniejszym polu i bokach równoległych do osi $OX$ i $OY$ zawierający ten obszar. Wyznacz wierzchołki tego prostokąta oraz jego pole. Wykonaj staranny rysunek.

  4. Niech $Y$ oznacza zbiór wartości funkcji $$f(x) = kx^2 - (2k-1)x + 2k-1.$$ Wyznacz wszystkie wartości parametru rzeczywistego $k$, dla których $Y\subset \mathbb{R}_{+}$ ($\mathbb{R}_{+}$ - zbiór liczb rzeczywistych dodatnich).

  5. Dany jest wierzchołek kwadratu $A(1,-3)$ i równanie prostej $y=2x$, w której zawiera się jedna z jego przekątnych. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu. Wykonaj staranny rysunek.

  6. Prostokąt $ABCD$ o bokach $a$ i $b$, gdzie $b<a$, zgięto wzdłuż pewnej prostej tak, że pokryły się jego przeciwległe wierzchołki $A$ i $C$. Otrzymano w ten sposób pięciokąt. Wyznacz stosunek pola tego pięciokąta do pola całego prostokąta. W jakim przedziale mieści się ta wartość?

Poziom rozszerzony

  1. Prostokąt $ABCD$ podzielono na mniejsze prostokąty czterema poziomymi i pięcioma pionowymi prostymi przeprowadzonymi w równych odstępach. Iloma sposobami można dojść z wierzchołka $A$ do wierzchołka $C$, posuwając się po prostych liniach poziomych i pionowych tak, aby suma długości przebytych odcinków była równa sumie dwóch długości przyległych boków prostokąta?

  2. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $54\sqrt{3}$. Zbadaj, jakie powinny być wymiary tego graniastosłupa, aby suma długości wszystkich jego krawędzi była najmniejsza.

  3. Dany jest obszar $D$ zawarty w I ćwiartce układu współrzędnych ograniczony wykresami funkcji
    $$f(x) = \frac{1}{x} \;\;\;\mbox{oraz}\;\;\;g(x) = -\frac{1}{4}(x-2)^2+\frac{5}{4}.$$ Który punkt części paraboli $g(x)$ ograniczającej obszar $D$ leży najbliżej a który najdalej od punktu hiperboli $A(2,\frac{1}{2})$? Wykonaj staranny rysunek.

  4. Z początku układu współrzędnych wyprowadzono styczne do okręgu $$x^2+y^2-14x+2y+25=0.$$ Oblicz pole trójkąta utworzonego przez te styczne i cięciwę poprowadzoną przez punkty styczności. Wykonaj staranny rysunek.

  5. Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres wraz z asymptotami $$f(x) = \frac{|x-2|}{x^2 - 1}.$$

  6. Dany jest prostokąt $ABCD$ o bokach $|AB|=18$ i $|BC|=12$. Na boku $BC$ zaznaczamy punkt $E$ tak, aby po zgięciu prostokąta wzdłuż linii $AE$ wierzchołek $B$ znalazł się poza prostokątem. Otrzymano w ten sposób siedmiokąt wklęsły $ADPB'QCE$, gdzie $B'$ jest wierzchołkiem otrzymanym z wierzchołka $B$ w wyniku tego zgięcia. Znajdź stosunek pola trójkąta $ADP$ do pola prostokąta $ABCD$, jeśli pola trójkątów $ECQ$ i $PQB'$ są równe.