Korespondencyjny
Kurs z Matematyki
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
PRACA KONTROLNA nr 6 — luty 2024 r.
Poziom podstawowy
Dziewięć liczb uporządkowano w kolejności rosnącej. Ich mediana wynosi $7$, średnia pierwszych pięciu równa jest $3$, a średnia ostatnich pięciu równa jest $10$. Wyznacz średnią tych wszystkich dziewięciu liczb. Na jaką liczbę należy wymienić piątą z nich, jeżeli chcemy, żeby średnia po tej zamianie wynosiła $7$?
Między liczby $5$ a $15$ wstaw dwie liczby tak, żeby trzy pierwsze liczby tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.
Dla jakich wartości parametru $m$ suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych równania $$ x^2 + (m-2)x -m +5 = 0 $$ jest najmniejsza?
Ze zbioru $\left\lbrace 1,2,...,10 \right\rbrace$ losujemy kolejno (bez zwracania) dwie liczby i od pierwszej odejmujemy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymana różnica jest mniejsza niż 5?
Na loterii jest 200 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród trzech kupionych losów a) dokładnie jeden wygrywa, b) przynajmniej jeden wygrywa?
W pewnej grze uczestnik z cyfr $1, 2, 3, 4, 5, 6$ układa czterocyfrową liczbę (cyfry mogą się powtarzać), a następnie rzuca cztery razy sześcienną kostką do gry i zapisuje kolejne otrzymane cyfry. Jeżeli otrzyma wybraną przez siebie liczbę, to wygrywa 5 000 zł. Jeżeli otrzymana liczba będzie się różniła dokładnie jedną cyfrą od liczby wybranej, to wygra 500 zł., a jeżeli będzie się różniła dokładnie dwoma cyframi, to wygra 30 zł. W pozostałych przypadkach przegrywa, nie otrzymuje żadnej nagrody. Jakie są prawdopodobieństwa tych trzech wygranych i jaka jest wartość oczekiwana jego wygranej? Jak wysoką opłatę za udział powinien pobierać organizator takiej gry, jeżeli chce na niej zarobić w długim czasie?
Poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie $$ 1+\frac{1}{4-x} + \frac{1}{(4-x)^2} + \frac{1}{(4-x)^3}+ ... = 4-x. $$
Winda rusza z 5 pasażerami i zatrzymuje się na 8 piętrach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadnych dwóch pasażerów nie opuści windy na tym samym piętrze?
Jaki promień i kąt powinien mieć wycinek koła o polu powierzchni $36,$ żeby jego obwód był najmniejszy?
Oblicz prawdopodobieństwo wygranej w loterii, w której:
a) wygrywa jeden z $n$ losów, kupujesz dwa losy,
b) wygrywają dwa z $2n$ losów, kupujesz dwa losy,
c) odbywają się dwa niezależne losowania, w obu wygrywa jeden z $n$ losów, kupujesz po jednym losie w każdym z losowań (za wygraną uznajemy tutaj kupienie przynajmniej jednego wygrywającego losu).
W którym przypadku prawdopodobieństwo wygranej jest największe, a w którym najmniejsze?
Dana jest funkcja $f(x)=\frac{x^2}{(3-x)^2}.$ Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f$ i narysuj jej wykres. Zbadaj liczbę rozwiązań równania $$ \frac{x^2}{(3-|x|)^2}=m$$ w zależności od parametru rzeczywistego $m.$
Ze zbioru cyfr $\left\lbrace 1,2,3 \right\rbrace$ wylosowano jedną i odrzucono. Z otrzymanego w ten sposób zbioru wylosowano ze zwracaniem pięć cyfr. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba utworzona z tych cyfr będzie podzielna przez 3? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wcześniej odrzucono 3, jeżeli otrzymano liczbę nie zawierającą cyfry 3?