Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2024 r.

Poziom podstawowy

  1. W sześcianie o krawędzi $a = 10$ połączono środek górnej podstawy z wierzchołkami podstawy dolnej. Oblicz pole powierzchni i objętość powstałego ostrosłupa.

  2. Dana jest funkcja $f(x)=\frac{2(x-1)}{x-x^2}$. Rozwiąż nierówność $f(x) \le 2x$ oraz określ liczbę rozwiązań równania $|f(x)| = m$ w zależności od parametru $m$.

  3. Współczynniki trójmianu kwadratowego $y=ax^2+bx+c$ tworzą ciąg arytmetyczny, a ich suma wynosi $24$. Jednym z pierwiastków tego trójmianu jest $-\frac{1}{5}$. Oblicz $a,b,c$ oraz znajdź drugi pierwiastek tego trójmianu.

  4. Prosta o równaniu $y=\frac{1}{2}x+3$ przecina parabolę określoną wzorem $y=x^2-4x+3$ (której wierzchołkiem jest punkt $C$) w punktach $A$ i $B$. Uzasadnij, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny i oblicz jego pole.

  5. W trapezie równoramiennym o podstawach $a$ i $b$ oraz kącie ostrym $60^\circ$ połączono odcinkami środki sąsiednich boków. Oblicz pole powstałego w ten sposób czworokąta.

  6. Dana jest funkcja $f(x) = (m - 3)x^2 + (m - 1)x - 1$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-\infty, 1]$.

Poziom rozszerzony

  1. Niezerowe liczby $a,b,c,d$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz $a, b, c, d$, jeżeli wiadomo, że suma trzech pierwszych wyrazów równa się $26$ oraz, że liczby $a + 1, b + 6, c + 3$ tworzą ciąg arytmetyczny.

  2. Dane są równania okręgów $K_1 \;\colon\; (x - 4)^2 + y^2 = 9$ oraz $K_2 \;\colon\; x^2 + (y - m)^2 = m^2$.
    Okrąg $K_2$ przecina oś $Oy$ w początku układu współrzędnych i punkcie $C$, a okrąg $K_1$ przecina oś $Ox$ w punktach $A$ i $B$. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty $A$, $B$, $C$ i środek okręgu $K_2$.
    Dla jakich wartości $m$ okręgi $K_1$ i $K_2$ mają dokładnie jeden punkt wspólny?

  3. Ze zbioru $Z = \left\lbrace a, 0, 1, 2, b\right\rbrace$ w którym $a$ jest najmniejszą, zaś $b$ największą z liczb należących do dziedziny funkcji $f(x) = \sqrt{-x^2 + 3x +3}$ losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane $x, y$ spełniają warunek $|x-y|\le2$?

  4. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości $b$ tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie będącym ścianą boczną tego ostrosłupa.

  5. Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których stosunek sześcianu sumy różnych pierwiastków równania $$(p-1)x^2+(p+3)x+p+6=0$$ do iloczynu tych pierwiastków wynosi $-1$.

  6. W okrąg wpisano trapez tak, że jedna z jego podstaw jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego tego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw jest równy $\frac{3}{2}$.