Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2024 r.

Poziom podstawowy

1. W roku 2023 po ulicach pewnego dużego miasta jeździło $560$ autobusów i tramwajów. Dzięki środkom z Krajowego Planu Odbudowy (KPO) zakupiono w bieżącym roku $60$ autobusów i 40 tramwajów. Okazało się, że teraz autobusy stanowią $60\%$ taboru. Ile autobusów, a ile tramwajów było w tym mieście w roku 2023?

2. Wykaż, że:
   1) różnica kwadratów dwu kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez 3 jest liczbą podzielną przez 3,
   2) suma kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez 5 jest liczbą parzystą podzielną przez 5.

3. Wykaż, że:
   1) dla każdego $a\geq 1\,$ zachodzi nierówność $\frac{4}{a^2}-a\leq 3,$
   2) dla każdego $a\geq 2\,$ zachodzi nierówność $a-\frac{4}{a}\geq 2-\frac{a^2}{2}$.

4. Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$. Suma pierwszych dziesięciu jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 30, a suma dziesięciu pierwszych wyrazów o numerach parzystych wynosi 50. Oblicz sumę pierwszych 40 wyrazów ciągu $(a_n).$

5. Wyznacz współrzędne wierzchołków prostokąta o polu $4$, wiedząc, że jednym z nich jest $A=(0,3)$, a jeden z boków jest zawarty w prostej $y=x+1$. Sporządź rysunek.

6. W kwadrat $ABCD$ wpisano trójkąt równoramienny $AEF$, gdzie punkty $E$ i $F$ są środkami boków $BC$ i $DC$ odpowiednio. Niech $G$ i $H$ oznaczają punkty przecięcia ramion $AF$ i $AE$ tego trójkąta z przekątną $BD$ kwadratu. Oblicz stosunek pola czworokąta $EFGH$ do pola kwadratu. Sporządź staranny rysunek.

Poziom rozszerzony

1. Wykaż, że jeżeli $\log_2 3=a$ i $\log_3 5=b$, to $$ \log_{20} 48 = \frac{a+4}{2+ab}\quad \text{ i } \quad \log_{45} 50 = \frac{1+2ab}{a(2+b)}.$$

2. Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^3-(m+1)x^2+(2m+1)x-(m+1)=0$ ma trzy pierwiastki, których suma kwadratów przekracza $2$?

3. Rozwiąż nierówność $$ 2(\sin{2x}-\cos{2x})\geq\sqrt{2}.$$

4. Rozwiąż nierówność $$ x-\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{(1-x)^2}-\frac{x^4}{(1-x)^3}+\ldots\geq 1-x.$$

5. Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$ o polu $21$. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano punkty $D$ i $E$ tak, że $|BD|=|AE|=\frac{1}{3}|AB|.\,$ Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P.\,$ Oblicz pola wszystkich czterech wielokątów na jakie został podzielony wyjściowy trójkąt.

6. Dane są punkty $A(0,0),\;B(2,0),\;C(-2,0).$ Wyznacz współrzędne punktu $P$, z którego odcinek $AB$ widać pod kątem $90^{\circ}$, a odcinek $AC$ widać pod kątem $45^{\circ}.$
   $\textit{Mówimy, że odcinek $PQ$ widać pod kątem $\alpha$ z punktu $X,$ gdy $\angle PXQ = \alpha.$}$