Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2024 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiąż nierówność $$ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x +3) > 2. $$

2. Oblicz wszystkie funkcje trygonometryczne kąta $\alpha,$ wiedząc, że $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{7}{5}.$ Rozpatrz wszystkie możliwości.

3. Rozwiąż równanie $$ 6 \sin^2 x + 2 \sin^2 2x = 5. $$

4. Przekształcając odpowiednio wykres funkcji $y=2^x$ sporządź stranny wykres funkcji $$ f(x) = 2^{|x-3|} - 8. $$ Opisz dokładnie wszystkie użyte przekształcenia. Podaj miejsca zerowe funkcji $f(x),$ jej wartość najmniejszą, zbiór wartości oraz rozwiąż nierówność $f(x) < 2.$

5. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt $P(2,3)$ wiedząc, że jej odcinek zawarty między prostymi $3x+4y-7=0$ oraz $3x+4y+8=0$ ma długość $3\sqrt{2}.$

6. Rafał stoi nad brzegiem morza i obserwuje odpływającą żaglówkę.

   1) Jak daleko będzie żaglówka od (oczu) Rafała w momencie, w którym zniknie ona za horyzontem (Rafał przestanie widzieć jej maszt)?

   2) Na jak wysoką wieżę musi on wejść, żeby jeszcze widzieć tę żaglówkę w odległości 20km od niego?

   Przyjąć, że Ziemia jest kulą o promieniu 6371 km, oczy Rafała znajdują się na wysokości 180 cm, a wysokość żaglówki wynosi 8m.

Poziom rozszerzony

1. Oblicz $$ \frac{2}{3 + 4 \cos 2 \alpha}, $$ wiedząc, że $\tg \alpha = 0.2.$

2. Rozwiąż nierówność $$ \log_{\frac{1}{3}}\sqrt{2-x} < 1 + \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3+2x-x^2}. $$

3. Rozwiąż układ równań $$ \begin{cases} \begin{array}{rcl} \sqrt{2} \sin x & = & \sin y,\cr \sqrt{2} \cos x & = & \sqrt{3} \cos y. \end{array} \end{cases} $$

4. Rozwiąż nierówność $$ 8^{x-1} - 2 > 18 \cdot 4^{x-2} - 3\cdot 2^{x}. $$

5. Dla jakich wartości parametru $p$ prosta $$ p(x - 8y + 30) + x +5y - 22 = 0, $$ przecinając się z okręgiem $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 14 = 0,$ wyznacza cięciwę o długości $2\sqrt{3}$?

6. Bocian stoi na słupie o wysokosci $h$. Agata, której oczy znajduja sie na wysokości $a$ nad ziemią, stoi w odległości $b$ od tego słupa i widzi bociana pod kątem $\alpha$. Jak wysoki jest bocian? Wyprowadzić wzór, a następnie wykonać obliczenia dla $h=5$m, $a= 160$cm , $b = 10.6$m oraz $\alpha = 6^\circ.$