Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2024 r.

Poziom podstawowy

  1. Dla jakiego parametru $a$ pierwiastki $x_1$ i $x_2$ równania kwadratowego $x^2-3ax+a^2=0$ spełniają zależność $x_1^2+x_2^2<7$?

  2. Wyznacz liczby wymierne $a$ i $b$, aby $$ \sqrt{6+\sqrt{11}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}. $$

  3. W ciągu arytmetycznym drugi wyraz jest równy $14$, a trzeci $16$. Znajdź taki ciąg geometryczny, żeby jego iloraz był równy różnicy wyjściowego ciągu arytmetycznego, oraz sumy trzech początkowych wyrazów obu ciągów były równe.

  4. Podstawa trójkąta ma długość $60$cm, wysokość opuszczona na podstawę $12$cm, a środkowa podstawy $13$cm. Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta. Wykonaj staranny rysunek.

  5. W pewien kwadrat wpisano drugi kwadrat, którego wierzchołki leżą na bokach pierwszego, a boki tworzą z bokami pierwszego kwadratu kąty $30^\circ$. Jaką część pola wyjściowego kwadratu stanowi pole kwadratu wpisanego? Wykonaj staranny rysunek.

  6. Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości $a$. Wszystkie krawędzie ostrosłupa mają długość $b$. Policz objętość tego ostrosłupa.

Poziom rozszerzony

  1. Pociąg miał przebyć pewną trasę w $4$ godziny. W połowie drogi zatrzymano go na pół godziny. Aby przybyć punktualnie do celu, musiał zwiększyć prędkość o $20$km/h. Jaka była długość trasy oraz planowana prędkość pociągu, jeśli przyjmiemy, że prędkość była stała na poszczególnych odcinkach?

  2. W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz jest równy $1$, a suma siedmiu początkowych wyrazów wynosi $2555$. Znajdź środkowy wyraz ciągu geometrycznego złożonego z siedmiu wyrazów, wiedząc, że pierwszy i siódmy wyraz są identyczne z tymi samymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

  3. Dla jakiego parametru $m$ najmniejsza wartość funkcji $$ f(x)=(3m-5)x^2-(2m-1)x+\frac{3m-5}{4} $$ jest liczbą dodatnią?

  4. Boki kwadratu (długości $a$) podzielono w stosunku $m$ do $n$, przy czym (w przypadku, gdy $m\neq n$) do każdego wierzchołka przylega jeden dłuższy, a drugi krótszy odcinek. Punkty podziału połączono odcinkami. Znajdź pole otrzymanego czworokąta. Wykonaj staranny rysunek. Dla jakich wartości $m$ i $n$ to pole jest najmniejsze (aby odpowiedzieć na to ostatnie pytanie wcale nie trzeba używać pochodnych)?

  5. Podstawa trójkąta podzielona jest przez wysokość na odcinki długości $36$cm oraz $14$cm. Prosta poprowadzona prostopadle do podstawy dzieli pole danego trójkąta na połowy. Na jakie odcinki prosta ta dzieli podstawę trójkąta? Wykonaj staranny rysunek.

  6. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości $a$, wiedząc, że najdłuższa przekątna tego graniastosłupa jest cztery razy większa od najkrótszej przekątnej podstawy.