Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2024 r.

Poziom podstawowy

  1. Ile jest liczb w zbiorze $\left\lbrace 1,2,\ldots, 1000\right\rbrace$, których suma cyfr jest równa 3?

  2. Znajdź równanie krzywej będącej zbiorem wszystkich takich punktów $A$, że odległość punktu $A$ od prostej $x=3$ jest równa odległości tego punktu od punktu $(0,1)$. Wykonaj staranny rysunek.

  3. Wyznacz wierzchołki $B$ i $D$ rombu $ABCD$ o polu równym 8, jeśli wierzchołki $A$ i $C$ są punktami przecięcia okręgu $x^2+y^2-4x-4y+6=0$ z prostą $x-y=0$.

  4. Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła o promieniu $r$. Oblicz stosunek pola powierzchni części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola powierzchni części trójkąta leżącej wewnątrz koła.

  5. Odcinek drutu długości $l$ podzielono na dwie części. Z jednej utworzono brzeg trójkąta równobocznego, a z drugiej okrąg. Jaka powinna być długość każdej części, aby suma pól trójkąta i koła była najmniejsza? Wykonaj staranny rysunek.

  6. Z sześcianu o długości krawędzi $a$ odcinamy osiem "narożników", tzn. czworościanów, których wierzchołkami są wierzchołki sześcianu, a bocznymi krawędziami - połówki krawędzi sześcianu. Ile ścian ma otrzymany wielościan? Oblicz stosunek jego objętości do objętości sześcianu oraz stosunek jego pola powierzchni do pola powierzchni sześcianu.

    Jak należy odciąć narożniki, aby ze ścian sześcianu po odcięciu narożników powstały ośmiokąty foremne?

Poziom rozszerzony

  1. Do klubu wchodzą dwie pary (dziewczyna - chłopak). Na ile sposobów mogą wejść, jeśli każdy z chłopak przepuszcza przed sobą przynajmniej swoją dziewczynę? Jaka jest odpowiedź w przypadku trzech par?

  2. Przez punkt $(1,-7)$ przeprowadzono styczne do okręgu o równaniu $x^2+y^2=25$. Znajdź punkty styczności i oś symetrii otrzymanej figury. Wykonaj staranny rysunek.

  3. Napisz równanie krzywej będącej zbiorem środków okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu $(x-2)^2+y^2=4$ i stycznych do osi $OX$. Wykonaj staranny rysunek.

  4. Rozważmy połowę koła o równaniu $x^2+(y-1)^2\leq 1$ leżącą w I ćwiartce układu współrzędnych (pozycja wyjściowa). Niech $AB$ oznacza średnicę tego koła, gdzie $A(0,2)$, $B(0,0)$ oraz $C$ - środek średnicy. Półkole przesuwa się z pozycji wyjściowej w taki sposób, że koniec $A$ średnicy przesuwa się po osi $OY$, a drugi koniec $B$ przesuwa się po osi $OX$ do pozycji końcowej, w której wierzchołek $A$ znajdzie się w punkcie $(0,0)$, a wierzchołek $B$ w punkcie $(2,0)$. Znajdź równanie krzywej, po której porusza się środek średnicy $C$.

  5. Zbadaj przebieg zmienności funkcji $$f(x)= \frac{4x^2-3x-1}{4x^2+1}$$ i naszkicuj jej wykres. Korzystając z wykresu, określ liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m$.

  6. Wykaż, że maksymalna objętość walca wpisanego w stożek, którego przekrój jest trójkątem równobocznym o boku długości $2a$, jest równa objętości kuli wpisanej w ten stożek.