Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2025 r.

Poziom podstawowy

  1. Liczba dwu- i trzyelementowych podzbiorów zbioru $A$ jest 4 razy większa niż liczba jego trzyelementowych podzbiorów zawierających ustalony element. Ile elementów ma zbiór $A$?

  2. Z talii 52 kart losujemy dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są figurami lub obie są kierami.

  3. Narysuj wykres funkcji $$ f(x)=\begin{cases} \begin{array}{lcl} 2|x^2+x-2|, & \mbox{gdy}& |x|\leq 1,\cr \frac{x-1}{x+1}, & \mbox{gdy}& |x| > 1. \end{array} \end{cases} $$ Posługując się wykresem, podaj zbiór wartości funkcji $f$ oraz jej najmniejszą i największą wartość na przedziałach $[-1,2]$ oraz $[0,4].$

  4. Wyznacz równania stycznych do okręgu $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ przechodzących przez początek układu współrzędnych. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są: punkt $(0,0)$, środek okręgu i punkty styczności. Jeżeli w ten czworokąt można wpisać okrąg, to wyznacz jego równanie.

  5. Określ liczbę rozwiązań układu równań $$\begin{cases} \begin{array}{rcl} x^2+y^2 &=& 2,\cr y & =&x^2+p \end{array} \end{cases} $$ w zależności od parametru $p$ i podaj jego interpretację geometryczną.

  6. Dwie ściany czworościanu są wzajemnie prostopadłe. Jedna z nich jest trójkątem równobocznym, a druga - trójkątem równoramiennym o polu $4\sqrt{3}.$ Objętość czworościanu jest równa 6. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego czworościanu i kąt nachylenia jego najdłuższej krawędzi do ściany, która jest trójkątem równobocznym.

Poziom rozszerzony

  1. Liczba 2-elementowych podzbiorów zbioru $A$ jest 7 razy większa niż liczba 2-elementowych podzbiorów zbioru $B$. Liczba 2-elementowych podzbiorów zbioru $A$ nie zawierających ustalonego elementu $a!\in!A$ jest 5 razy większa niż liczba 2-elementowych podzbiorów zbioru $B$. Ile elementów ma każdy z tych zbiorów? Ile każdy z tych zbiorów ma podzbiorów 3-elementowych?

  2. Jaś wie, że ma w kieszeni pięć monet po $1$ złoty, trzy monety po $2$-złotowe i dwie monety po $5$ złotych. Wyciąga z kieszeni losowo trzy monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej dwie z tych monet mają jednakową wartość; b) wybrane monety mają łączną wartość $7$ złotych.

  3. Punkt $A$ należy do obszaru kąta o mierze $30^\circ$. Odległości tego punktu od ramion kąta są równe $a$ i $b$. Wyznaczyć odległość punktu $A$ od wierzchołka kąta. Obliczyć tę odległość dla $a=2$ i $b=\sqrt{3}-1$. Wykonaj rysunek.

  4. Określ liczbę rozwiązań układu równań $$\begin{cases} \begin{array}{rcl} (x-1)^2+(y-1)^2 &=& r^2,\cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =&1 \end{array} \end{cases} $$ w zależności od parametru $r$ i podaj jego interpretację geometryczną.

  5. Z punktu $A(2,1)$ wychodzą dwie półproste prostopadłe przecinające oś $Ox$. Niech $F$ będzie obszarem kąta prostego wyznaczonego przez te półproste, $G$ zaś - zbiorem wszystkich punktów o obydwóch współrzędnych nieujemnych. Wyznacz równania tych półprostych, dla których pole figury $F\cap G$ jest najmniejsze.

  6. Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=x^2-\frac{2}{x}$ i wyznacz równania stycznych do wykresu w punktach jego przecięcia z prostą $y=3$.