Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2025 r.

Poziom podstawowy

1. W loterii jest $15$ losów, a wśród nich jeden los z wygraną $6 000 zł$, oraz $3$ losy z wygraną $2 000 zł$. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że kupując trzy losy: a) wygramy dokładnie $6 000 zł$, b) wygramy co najwyżej $6 000 zł$.

2. W ciągu arytmetycznym suma pierwszych $15$ wyrazów jest równa sumie pierwszych $25$ wyrazów, a jego pierwszy wyraz jest dodatni. Ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich? Wyznacz sumę pierwszych $40$ wyrazów tego ciągu.

3. Rozwiąż układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{ccc} x \sin\alpha - y \cos\alpha & = & \sin\alpha,\cr x \cos\alpha + y \sin\alpha & = & 1. \end{array} \end{cases}$$ z parametrem $\alpha.$ Dla jakich wartośi $\alpha$ suma $x^2+y^2$ jest:

   a) największa, b) najmniejsza, c) równa 1,5?

4. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji $$ f(x) = \sqrt{\log_{\frac12} \frac{x-7}{x^2-9}}.$$

5. Obwód trójkąta równoramiennego równy jest $20$. Jakie powinny być jego boki, aby objętość bryły otrzymanej przez obrót tego trójkąta wokół podstawy była największa?

6. Znajdź środek okręgu o promieniu 25, jeżeli wiadomo, że okrąg ten przechodzi przez punkt $A(0,4)$ i odcina na osi $0x$ cięciwę o długości $14$.

Poziom rozszerzony

1. W urnie znajduje się $n$ kul, z których $6$ jest białych. Ile co najwyżej może być kul w urnie, aby przy losowaniu dwóch kul ze zwracaniem prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania kuli białej było większe od $\frac13$? Ile ich może być jeśli losujemy dwa razy bez zwracania?

2. Dla jakich wartości parametru $\alpha\in [0, 2\pi]$ istnieje dodatnie maksimum funkcji $$ f(x) = (2\sin\alpha - 1) x^2 - 2x + \sin\alpha ?$$ \left\brace

3. W ciągu geometrycznym dane są wyrazy $a_{m+n}=A$ oraz $a_{m-n}=B,$ dla pewnych $m, n\in N,$ gdzie $m>n$ oraz pewnych liczb rzeczywistych $A, B$ takich, że $AB>0.$ Wyznacz $a_m$ oraz $a_n.$

4. Rozwiąż nierówność $$\log_{2-x} \frac{12-7x}{2x+3} \geq 2.$$

5. Który z graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych o polu powierzchni całkowitej równej $18\sqrt{3} \text{ dm}^2$ ma największą objętość? Podaj wartość tej objętości z dokładnością do $1 \text{ cm}^3.$

6. Dwa boki pewnego trójkąta leżą na prostych o równaniach $3x+y-3=0,$ $3x+4y=0.$ Prosta $x-y+5 = 0$ jest dwusieczną jednego z kątów wewnętrznych tego trójkąta. Znajdź współrzędne wierzchołków tego trójkąta i oblicz jego pole.