Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2025 r.

Poziom podstawowy

  1. Z miast A i B wyruszyły jednocześnie dwa samochody jadące ze stałymi prędkościami naprzeciw siebie. Do chwili spotkania pierwszy z nich przebył drogę o 72 km dłuższą niż drugi. Jadąc dalej z tymi samymi prędkościami, pierwszy samochód przebył drogę od A do B w czasie 4 godzin, drugi zaś w czasie 6 godzin. Oblicz odległość między miastami.

  2. Prosta $x=1$ jest osią symetrii paraboli, która przecina osie układu współrzędnych w punktach $(-2,0)$ i $(0,2)$. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest ta parabola. Podaj jej postać ogólną, kanoniczną i iloczynową. Zapisz obliczenia. Sporządź wykres.

  3. Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnch niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 3.

  4. Liczby (w podanej kolejności) $\; 2x,\,x+1,\frac{1}{2}x+2\;$ są pierwszym, trzecim i piątym wyrazem ciągu geometrycznego. Wyznacz stosunek sumy pierwszych dziesięciu wyrazów o numerach parzystych do sumy pierwszych dziesięciu wyrazów o numerach nieparzystych.

  5. Obwód trapezu równoramiennego o kącie ostrym $60^{\circ}$ jest równy 60. Wyznacz wymiary tego z trapezów, który ma największe pole. Sporządź rysunek.

  6. W trójkącie prostokątnym $ABC$ dane są: $|BC|=6,\,|CA|=8.\,$ Punkt $D$ leży na przeciwprostokątnej $AB$, a punkt $E$ na przyprostokątnej $AC$ i odcinek $ED$ jest prostopadły do przeciwprostokątnej. Pole trójkąta $ABC$ jest cztery razy większe pola trójkąta $AED$. Wykaż, że w czworokąt $CEDB$ można wpisać okrąg i wyznacz jego promień. Sporządź rysunek.

Poziom rozszerzony

  1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a<b$ zachodzi nierówność $$\,3ab^2+b^3\geq 4a^3.$$

  2. Z przystani A wyrusza z biegiem rzeki statek do przystani B odległej od A o 140 km. Po upływie 1 godziny wyrusza za nim łódź motorowa, dopędza statek, po czym wraca do przystani A w tym samym momencie, w którym statek przybija do przystani B. Znaleźć prędkość biegu rzeki, jeżeli wiadomo, że w stojącej wodzie prędkość statku jest równa 16 km/h, a prędkość łodzi 24 km/h.

  3. W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$, a odcinek $AD$ dzieli kąt przy wierzchołku $A$ na kąty, których miary pozostają w stosunku 1:3. W jakim stosunku pozostają do siebie długości odcinków, na które punkt $D$ dzieli bok $BC$?

  4. Rozwiąż nierówność $$ 1+\frac{1}{\sqrt{x+1}-1}+\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}-1}\right)^2+\ldots<2,$$ gdzie lewa strona jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego.

  5. Dla jakich wartości rzeczywistego parametru $p$ równanie $$px^{2}-(p+1)x-p+2=0\,$$ ma dwa pierwiastki $x_1,\;x_2$, których suma odwrotności jest nieujemna? Sporządź wykres funkcji $ f(p)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ i określ liczbę rozwiązań równania $|f(p)|=m$ w zależności od parametru $m$.

  6. Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o kącie ostrym $\alpha$. Punkt $D$ leży na przeciwprostokątnej $AB$, a punkt $E$ na przyprostokątnej $AC$ i odcinek $ED$ jest prostopadły do przeciwprostokątnej. Czworokąt $EDBC$ jest deltoidem, a trójkąt $ADE$ ma pole cztery razy mniejsze niż pole trójkąta $ABC$. Wyznacz $\tg{\alpha}$.