Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2025 r.

Poziom podstawowy

1. Wiedząc, że $\cos 2\alpha = m,$ znajdź wartość wyrażenia $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha.$$

2. Rozwiąż równanie $$ \frac{\log_2(9-2^x)}{3-x} = 1.$$

3. W kwadracie $ABCD$ dany jest wierzchołek $A(2,0)$ i wektor $\overrightarrow{AC}=(4,2),$ gdzie $C$ nie jest wierzchołkiem sąsiadującym z $A.$ Znaleźć współrzędne wszystkich wierzchołków tego kwadratu, jego pole i równania prostych zawierających jego boki.

4. Rozwiąż równanie $$ \tg x \cdot \sin x + 1 = \sin x + \tg x. $$

5. Dwa okręgi zewnętrznie styczne są zarazem styczne do ramion kąta o mierze $\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right).$ Mniejszy z nich jest brzegiem koła o polu $s.$ Znajdź pole większego koła.

6. Obliczyć pole trapezu równoramiennego o wysokości $h$ wiedząc, że jego bok nierównoległy widać ze środka okręgu opisanego na tym trapezie pod kątem $\alpha.$

Poziom rozszerzony

1. Rozwiąż równanie $$ \log_4 \left(\log_2 x \right) + \log_2 \left(\log_4 x\right) = 2.$$

2. Rozwiąż równanie $$ \sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x.$$

3. Wiedząc, że $\sin\alpha - \cos\alpha = m,$ znajdź wartość wyrażenia $$ \frac{\sin 4\alpha + \sin 10\alpha - \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + 1 - 2 \sin^2 4\alpha}. $$

4. W prostokącie $ABCD$ dany jest wierzchołek $C(-1,2)$ i $\overrightarrow{AB}=(3,3).$ Znaleźć równania prostych zawierających jego przekątne i kąt między nimi wiedząc, że wierzchołek $A$ nie sąsiaduje z $C$ i leży na prostej $x-2y=0.$

5. Znajdź pole trójkąta zbudowanego ze środkowych trójkąta o danym polu $S.$ Uzasadnij, że można z nich zbudować trójkąt.

6. Obserwator stoi u pondóża góry i jego przyrząd pomiarowy wykazuje, że z tego miejsca widzi tę górę pod kątem $\alpha$ (co oznacza, że kąt między linią poziomą a odcinkiem łączącym przyrząd ze szczytem wynosi $\alpha$). Po przejściu $d$ metrów dokładnie w kierunku góry widzi ją pod kątem $\beta,$ gdzie $\beta>\alpha.$ Oblicz względną wysokość tej góry (różnicę w pionie między przyrządem pomiarowym a jej szczytem). Wyprowadź ogólny wzór, a następnie wykonaj obliczenia dla $\alpha = 40^\circ, \beta = 43^\circ, d= 90$m.