Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2025 r.

Poziom podstawowy

1. Znajdź wszystkie wartości parametru $k$ dla których prosta $y=3x-4$ jest styczna do krzywej o równaniu $y=(2k-3)x^2-kx-(k-2)$. Narysuj wykresy tej krzywej i stycznej dla jednej z takich wartości $k.$

2. Pierwszy wyraz pewnego ciągu geometrycznego i pierwszy wyraz pewnego ciągu arytmetycznego są równe $a$. Trzeci wyraz tego ciągu geometrycznego jest równy drugiemu wyrazowi ciągu arytmetycznego. Piaty wyraz ciągu geometrycznego jest równy szóstemu wyrazowi ciągu arytmetycznego. Wiedząc, że wszystkie wyrazy są dodatnie i ciągi nie są stałe, znajdź sumę dwudziestu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.

3. Rozwiąż nierówność $$ |3x-5|<|x+3|, $$ a następnie znajdź największą liczbę całkowitą $n$ spełniającą warunek $$ |3^{\frac{n}{5}+1}-5|<|3^{\frac{n}{5}}+3|. $$

4. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości $h$ pole powierzchni bocznej równa się sumie pól obu podstaw. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.

5. Boki trójkąta zawierają się w prostych o równaniach $4x+3y-21=0, x+2y-4=0, 3x+y-7=0$. Oblicz współrzędne wierzchołków tego trójkąta, jego pole oraz promień okręgu na nim opisanego.

6. Objętość ostrosłupa prawidłowego o podstawie trójkątnej jest 9 razy większa od $r^3$ , gdzie $r$ to długość promienia okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Poziom rozszerzony

1. Narysuj wykres funkcji $$ f(x)=|x^2-6x+8|+|x^2-6x+5| $$ i znajdź zbiór jej wartości.

2. Rozważamy prostą o równaniu $y=3x+k$ oraz krzywą o równaniu $y=x^2+kx+6$, gdzie $k$ jest pewną stałą rzeczywistą. Ile, w zależności od $k$, może być punktów wspólnych podanej prostej i krzywej?

3. Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $$ x^2+3x-\frac{m-2}{m-3}=0 $$ ma pierwiastki rzeczywiste? Wyznacz wartość parametru $m$, dla której suma sześcianów tych pierwiastków wynosi $-9$.

4. Suma trzech liczb $a,b,c$ tworzących ciąg arytmetyczny (w podanej kolejności) jest równa wartości parametru $t\in\mathbb{N}$, dla której wektory $\overrightarrow{u}=(t^2,-1), \overrightarrow{v}=(t-\frac{5}{2}, 23t-12)$ są prostopadłe. Dodatkowo liczby $a+3, b+6, c+13$ tworzą ciąg geometryczny (w podanej kolejności). Wyznacz wszystkie możliwe wartości $a,b,c.$

5. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość $d$ i tworzy z przekątną ściany bocznej kat o mierze $\alpha$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

6. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 i 12 przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą dzielącą wyjściowy trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Wyznacz stosunek długości promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.