Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2025 r.

Poziom podstawowy

  1. Rozwiąż równanie $$ \sin{2x}+\sin{x}-2\cos{x}=1. $$

  2. Rozwiąż nierówność $$ 9^x-1\geq 10(3^x-1).$$

  3. Dwa koła zewnętrznie styczne są zarazem styczne do obu ramion kąta $\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right).$ Pole większego z nich jest 9 razy większe niż pole mniejszego koła. Wyznacz miarę kąta $\alpha$. Sporządź rysunek.

  4. Dla jakiej wartości parametru $m$ prosta $y=x+1$ dzieli trójkąt o wierzchołkach $A(1,0), B(3,1)$ i $C(1,m)$ na dwie figury o równych polach? Sporządź rysunek.

  5. Rozwiąż układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{rcl} x^2-y^2&=&2(x+y),\cr x^3+y^3&=&(x+y)^3-3xy. \end{array} \end{cases}$$ Podaj interpretację geometryczną układu.

  6. Podstawą ostrosłupa jest romb o boku $a$. Pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez jego wysokość i krótszą przekątną podstawy jest dwa razy mniejsze niż pole jego przekroju płaszczyzną przechodzącą przez wysokość i dłuższą przekątną podstawy. Pierwszy z tych przekrojów jest trójkątem równobocznym. Wyznacz objętość i sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa. Sporządź rysunek.

Poziom rozszerzony

  1. Rozwiąż nierówność $$\log_2{(1+2^{-x}+2^{-2x}+2^{-3x}+\dots)}\leq 2x-1.$$

  2. Narysuj staranny wykres funkcji $$f(x)=\sin{2x}-|\sin{x}|\over \sin{x}$$ i w przedziale $[0,\pi]$ wyznacz rozwiązania nierówności $$f(x)\geq 2\sqrt{2}\cos^2{x}-\cos{2x}-1.$$

  3. Wyznacz równanie krzywej $\Gamma$ będącej zbiorem punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $ A\left(-\frac{1}{2},0\right)$ jest dwa razy mniejsza od odległości od punktu $B(1,-3)$. Dla jakich wartości rzeczywistego parametru $m$ prosta $y=2x+m$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą $\Gamma$? Rozwiązanie zilustruj rysunkiem.

  4. Wykorzystując interpretację geometryczną układu równań $$\begin{cases} \begin{array}{l} x^2+y^2=p,\cr \displaystyle{1\over y}-\displaystyle{1\over x}=1, \end{array} \end{cases}$$ określ liczbę jego rozwiązań zależności od wartości parametru rzeczywistego $p.$

    Oblicz pole wielokąta o wierzchołkach, których współrzędne spełniają powyższy układ dla $p=8$. Podaj ilustrację graficzną układu.

  5. Długości boków trapezu opisanego na okręgu o promieniu $R$ tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym najkrótszy bok ma długość $\frac{3}{4}R$. Oblicz długości obu podstaw trapezu oraz cosinus kąta pomiędzy przekątnymi. Sporządź rysunek.

  6. Podstawą ostrosłupa jest romb o kącie ostrym $60^{\circ},$ a jedna z jego krawędzi bocznych jest prostopadła do podstawy i jej długość jest równa długości boku rombu. Wyznacz cosinus kąta między tymi dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa, z których dokładnie jedna jest trójkątem prostokątnym. Sporządź rysunek.