Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2026 r.

Poziom podstawowy

1. Ile elementów ma zbiór $A$ jeśli wiadomo, że zawiera on dokładnie 92 podzbiory o najwyżej 2 elementach?

2. Ze zbioru ${1,2,3,...,30}$ losujemy 5 liczb (bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych liczb

   1. dokładnie jedna jest podzielna przez 3,
   2. co najwyżej jedna jest podzielna przez 3,
   3. co najmniej jedna jest podzielna przez 3.

3. Pole trójkąta o danych wierzchołkach $A(1,-2)$ i $B(2,3)$ jest równe 8. Znajdź trzeci wierzchołek wiedząc, że leży on na prostej $2x+y-2=0.$ Wykonaj staranny rysunek.

4. Dla jakich wartości parametru $p$ równanie $$ x^4 + px^2 + p^2 - 1 = 0,$$ nie ma pierwiastków rzeczywistych?

5. Narysuj wykres funkcji $$ f(x) = \frac{|x+1|+x-3}{x-2}.$$ Wyznacz zbiór jej wartości oraz najmniejszą i największą wartość na przedziale $[-2,1].$

6. W trapez o długości podstaw 10 i 6, wysokości 5 i obu kątach ostrych przy dłuższej podstawie, wpisano prostokąt tak, że dwa jego wierzchołki leżą na dłuższej podstawie trapezu, a pozostałe dwa na jego ramionach. Znaleźć wymiary takiego prostokąta o największym możliwym polu.

Poziom rozszerzony

1. Ile elementów ma zbiór $A$ jeśli wiadomo, że zawiera on dokładnie 130 podzbiorów o najwyżej 3 elementach?

2. Z cyfr 1,2,...,9 losujemy trzy (ze zwracaniem) i układamy z nich liczbę trzycyfrową, ustawiając cyfry od lewej do prawej strony w tej kolejności, w której zostały wylosowane. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba będzie

   1. większa od 555,
   2. mniejsza od 444?

3. Dla jakich wartości parametru $\alpha\in (0,\pi)$ równanie $$ (4-\sqrt{15})^x + (4+\sqrt{15})^x = 2\ctg\alpha,$$ ma dwa różne pierwiastki? Wyznaczyć te pierwiastki.

4. Wyznacz wszystkie styczne do wykresu funkcji $$ f(x) = \frac{2x-3}{x-1},$$ prostopadłe do prostej $4x+y+1 = 0.$ Sporządź staranne wykresy funkcji $f(x)$ i tych stycznych.

5. Wyznacz najmniejszą objętość stożka, który zawiera półkulę o promieniu długości $r$ i wspólnej ze stożkiem osi obrotu.

6. Z wierzchołka $S$ paraboli $y=\dfrac19 x^2-1$ poprowadzono dwie proste wzajemnie prostopadłe, przecinające parabolę w punktach $A$ i $B.$ Znajdź zbiór wszystkich środków ciężkości (tj. punktów przecięcia środkowych) trójkątów $ABS.$ Wykonaj staranny rysunek.