Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

Lista zadań do wydruku - PDF

PRACA KONTROLNA nr 6 — luty 2019 r.

Poziom podstawowy

  1. Pewnej mroźnej zimy trzy przeziębione krasnale kupowały w aptece lekarstwa. Pierwszego męczył straszny ból gardła. Kupił więc trzy tabletki do ssania, tabletkę na kaszel i kropelkę do nosa. Zapłacił za wszyskto $4$ grosze. Drugiemu dokuczał uporczywy kaszel, za tę samą cenę kupił trzy tabletki na kaszel, tabletkę do ssania i kropelkę do nosa. Trzeci miał straszny katar. Poprosił więc o trzy kropelki do nosa, o tabletkę do ssania oraz o tabletkę na kaszel. A dowiedziawszy się, że ma zapłacić 2 grosze, pomyślał chwilkę, kichnął i powiedział do aptekarza: ,,Pomylił się Pan!'' Uzasadnić, że krasnal miał rację.

  2. Obliczyć, ile kolejnych dodatnich liczb naturalnych podzielnych przez 3 należy dodać do siebie, aby otrzymana suma była równa liczbie $115 a^{-1}$, gdzie $$ a=\frac1{3\cdot5}+\frac1{5\cdot7}+\frac1{7\cdot9}+\ldots+\frac1{691\cdot693}. $$

  3. Rozwiązać równanie $$ \sin^3 x (1 + \ctg x) + \cos^3 x (1 + \tg x) = \sin 2x + 2\sin^2 x. $$

  4. Rzucamy pięć razy jednorodną kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek większej od 20, jeśli wiadomo, że suma oczek wyrzuconych w trzech pierwszych rzutach wynosi 10.

  5. W trójkąt równoramienny, którego ramiona są dwa razy dłuższe od podstawy, wpisano prostokąt w taki sposób, że jeden z boków prostokąta zawarty jest w podstawie trójkąta. Jakie powinny być wymiary tego prostokąta, aby jego pole było największe? Wyznaczyć wartość tego największego pola.

  6. Narysować w prostokątnym układzie współrzędnych wykresy funkcji $$ f(x)=-\frac{2}{x}\qquad\mbox{oraz}\qquad g(x)=f\big(|x|-1\big)+1. $$ Rozwiązać nierówność $g(x)\geq f(x)$ i zaznaczyć zbiór jej rozwiązań na osi liczbowej.

Poziom rozszerzony

  1. Ojciec i syn obchodzą urodziny tego samego dnia. W roku 2019 podczas uroczystości urodzin zapytano jubilatów, ile mają lat. Ojciec odpowiedział: ,,Jeśli wiek mego syna przemnożę przez swój wiek za 31 lat, to otrzymam rok swego urodzenia''. Syn dodał: ,,A ja otrzymam rok swego urodzenia, jeśli wiek mego ojca sprzed 16 lat przemnożę przez swój wiek za 33 lata''. W którym roku urodził się każdy z jubilatów?

  2. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji $$ f(x)=\log\big(3^{3x-1}-3^{2x-1}-3^{x+1}+3\big). $$

  3. Rozwiązać równanie $$ 4\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \sin 4x. $$

  4. W dwóch urnach znajdują się kule białe i czarne, przy czym w pierwszej urnie są 4 kule białe i 6 czarnych, a w drugiej jest 7 kul białych i 3 czarne. Rzucamy dwa razy jednorodną kostką do gry. Jeśli suma wyrzuconych oczek jest mniejsza niż 6, losujemy dwie kule z pierwszej urny. Jeśli suma wyrzuconych oczek jest większa niż 9, losujemy dwie kule z drugiej urny. W pozostałych przypadkach losujemy po jednej kuli z każdej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.

  5. Uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej $\,n\,$ liczba $\;n^5-n\;$ jest podzielna przez 5. Czy prawdą jest, że jest ona też podzielna przez 30?

  6. W trójkąt równoramienny, którego ramiona są długości $a$, a miara kąta zawartego pomiędzy nimi wynosi $\alpha,$ wpisano prostokąt w taki sposób, że jeden z boków prostokąta zawarty jest w jednym z ramion trójkąta. Jakie powinny być wymiary tego prostokąta, aby jego pole było największe? Wyznaczyć wartość tego największego pola.

Rozwiązania należy wysłać do dnia 18-02-2019.

Sprawdź starannie jak należy zaadresować kopertę oraz co należy umieścić w kopercie. Informacje te możesz znaleźć na stronie Kontakt.

Do rozwiązań należy dołączyć zaadresowaną do siebie kopertę zwrotną z naklejonym znaczkiem, odpowiednim do wagi listu (cennik znaczków).

Wysyłając rozwiązania zadań uczestnik Kursu udostępnia Politechnice Wrocławskiej swoje dane osobowe, które są przetwarzane wyłącznie w zakresie niezbędnym do jego prowadzenia (odesłanie zadań, prowadzenie statystyki). Szczegółowe informacje o przetwarzaniu przez nas danych osobowych są dostępne na stronie O Kursie.

Adres

Rozwiązania jednego z wybranych wariantów zadań należy wysłać do dnia 18-02-2019 na następujący adres:

Korespondencyjny Kurs z Matematyki
poziom podstawowy/rozszerzony
Wydział Matematyki
Politechnika Wrocławska
ul. Wybrzeże Wyspiańskiego 27
50-370 WROCŁAW