Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2015 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiązać równanie $\;\tg{x}-\sin{x}=\frac{1-\cos{x}}{2\cos{x}}.$

2. Narysować wykres funkcji $f(x)=2\sin{x}+|\sin{x}|$ i rozwiązać nierówność $ |f(x)|\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

3. Odcinek $CD$ jest obrazem odcinka o końcach $A(1,1)$ i $B(2,0)$ w jednokładności o środku $S(1,-1)$ i skali $ k=-2.$ Obliczyć pole czworokąta $ABCD$. Sporządzić rysunek.

4. Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx+c$ jest podzielny przez dwumian $x+1,\,$ a jego wykres jest symetryczny względem punktu $(0,0)$. Wyznaczyć $a, b, c$ i rozwiązać nierówność $$\;(x-1)W(x+2)-(x-2)W(x+1)\leq 0.$$

5. Punkty $A(1,\,1)$, $B(0,\,3)$ są kolejnymi wierzchołkami rombu $ABCD$. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki, wiedząc, że jeden z nich leży na prostej $x-y-2=0$. Sporządzić rysunek.

6. W trójkąt równoramienny wpisano okrąg o promieniu $r$. Wyznaczyć pole trójkąta, jeżeli środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na okręgu wpisanym w ten trójkąt. Ile rozwiązań ma to zadanie? Sporządzić rysunek.

Poziom rozszerzony

1. Narysować wykres funkcji $\,f(x)=\cos{2x}-\sin^2{x}\,$ i rozwiązać nierówność $\, f(x)\geq\frac{1}{4}.$

2. Obliczyć pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A(3,6)$, $B(1,0)$, wiedząc, że wysokości przecinają się w punkcie $(4,4)$. Sporządzić rysunek.

3. Dla jakiego kąta ostrego $\alpha$ zachodzi równość $$\log_{\sin{\alpha}}{(2\cos^2{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\alpha}-1)}=2\,?$$

4. Dla jakiego parametru $p$ wielomian $W(x)=x^3+px^2+11x-6$ ma trzy pierwiastki, z których jeden jest średnią arytmetyczną pozostałych? Znaleźć wielomian o powyższej własności, którego wszystkie pierwiastki są wymierne.

5. Wyznaczyć równania wszystkich prostych stycznych do każdej z parabol $\,y=(x+1)^2\,$ oraz $\,y=-(x-3)^2-2.\,$ Sporządzić rysunek.

6. W trójkącie równoramiennym $ABC$ sinus kąta przy wierzchołku $C$ jest równy $3/5.$ Pod jakim kątem przecinają się środkowe poprowadzone z wierzchołków podstawy $AB$?