Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2016 r.

Poziom podstawowy

1. Udowodnić, że różnica kwadratów dwu dowolnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 3.

2. Rozwiązać równanie $$\, \sin^2\left(\frac{\pi+x}{2}\right)-\sin\left(\frac{\pi-x}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{\pi-x}{2}\right)=1$$ w przedziale $[0,\,2\pi].$

3. Dla jakiego parametru $m$ równanie $$\,(\log_2^2{m}-1)\cdot x^2+2(\log_2{m}-1)\cdot x+2=0\,$$ ma tylko jedno rozwiązanie?

4. Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat o boku $a$, jest prostopadła do podstawy. Najdłuższa krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $60^{\circ}.$ Obliczyć pole powierzchni całkowitej oraz sumę długości krawędzi ostrosłupa. Sporządzić rysunek.

5. Jaką krzywą tworzą punkty płaszczyzny, z których odcinek o końcach $A(1,0)$ i $B(0,1)$ jest widoczny pod kątem $30^{\circ}$.

6. Narysować wykres funkcji $\, f(x)=\frac{|x+1|-1}{|x-1|} $ i na jego podstawie wyznaczyć przedziały jej monotoniczności oraz najmniejszą wartość w przedziale $\, \left[-2,\frac{1}{2}\right].$

Poziom rozszerzony

1. Udowodnić tożsamość $$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)$$ i wykorzystując ją, usunąć niewymierność z mianownika ułamka $\, \frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}.$

2. Jaką krzywą tworzą środki wszystkich okręgów stycznych równocześnie do osi $Ox$ i do okręgu $x^2+(y-1)^2=1\,$?

3. Wyznaczyć wszystkie styczne do wykresu funkcji $\, f(x)=\frac{x-3}{x-2}$ prostopadłe do prostej $4x+y+1=0.$ Sporządzić staranne wykresy wszystkich rozważanych krzywych.

4. Narysować wykres funkcji $$\; f(x)=1-\frac{2^x}{1-2^x}+\left(\frac{2^x}{1-2^x}\right)^2-\left(\frac{2^x}{1-2^x}\right)^3+\left(\frac{2^x}{1-2^x}\right)^4-\ldots\;\;\;$$ będącej sumą nieskończonego szeregu geometrycznego. Rozwiązać nierówność $$\; f(x)>4^x-21\cdot 2^{x-2}+2.$$

5. Dla jakiego parametru $m$ równanie $$\,(\log_4{m}+1)\cdot x^2+3\log_4{m}\cdot x +2\log_4{m}-1=0\,$$ ma dwa pierwiastki $\,x_1,\,x_2\,$ spełniające warunki: $\;x_1<x_2,\;$ oraz $\;2(x_2^2-x_1^2)>x_2^4-x_1^4\,$?

6. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym tangens kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy jest równy $2\sqrt{3}$. Obliczyć stosunek objętości kuli wpisanej do objętości kuli opisanej na ostrosłupie.