Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2016 r.

Poziom podstawowy

  1. Dwa samochody wyjechały jednocześnie z jednego miejsca i jadą w tym samym kierunku. Pierwszy jedzie z prędkością 50 km/h, a drugi z prędkością 40 km/h. Pół godziny później z tego samego miejsca i w tym samym kierunku wyruszył trzeci samochód, który dopędził pierwszy samochód o 1 godzinę i 30 minut później niż drugi. Z jaką prędkością jechał trzeci samochód?

  2. Proste $y=2$, $y=2x+10$ oraz $4x+3y=0$ wyznaczają trójkąt $ABC$. Otrzymany trójkąt przekształcono używając najpierw jednokładności o środku $O(0,0)$ i skali $k=3$, a następnie symetrii względem osi $OX$. Wyznaczyć współrzędne trójkąta $ABC$ oraz współrzędne obrazów jego wierzchołków. Obliczyć pole trójkąta $ABC$ i jego obrazu w tym przekształceniu.

  3. Rozważmy zbiór wszystkich prostokątów wpisanych w kwadrat o boku długości $a$ w taki sposób, że boki tego prostokąta są parami równoległe do przekątnych danego kwadratu. Obliczyć długości boków tego prostokąta, który ma największe pole.

  4. Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła o promieniu $r$. Obliczyć stosunek pola powierzchni części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola powierzchni części trójkąta leżącej wewnątrz koła.

  5. W stożku pole podstawy, pole powierzchni kuli wpisanej w ten stożek i pole powierzchni bocznej stożka, tworzą ciąg arytmetyczny. Znaleźć cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.

  6. Okrąg $O_1$ o promieniu 1 jest styczny do ramion kąta o mierze $\frac{\pi}{3}$. Mniejszy od niego okrąg $O_2$ jest styczny zewnętrznie do niego i obu ramion tego kąta. Procedurę kontynuujemy. Znaleźć sumę obwodów pięciu otrzymanych kolejno w ten sposób okręgów. Dla jakiego $n$ suma obwodów ciągu tych okręgów jest większa od $\frac{299}{100}\pi$?

Poziom rozszerzony

  1. Do punktu $A$ po dwóch prostoliniowych drogach jadą ze stałymi prędkościami samochód i rower. W chwili początkowej samochód, rower i punkt $A$ tworzą trójkąt prostokątny. Gdy samochód przejechał 25 km trójkąt, którego dwa wierzchołki przesunęły się, stał się trójkątem równobocznym. Znaleźć odległość między samochodem a rowerem w chwili początkowej, jeśli w momencie dotarcia samochodu do punktu $A$ rower miał jeszcze do przejechania 12 km.

  2. Na płaszczyźnie dane są punkty $A$ i $B$. Udowodnij, że złożenie symetrii środkowej względem punktu $A$ z przesunięciem o wektor $\overrightarrow{AB}$ jest symetrią środkową względem środka odcinka $\overline{AB}$.

  3. Wyznaczyć największą wartość pola prostokąta, którego dwa wierzchołki leżą na paraboli $y=x^2-4x+4$, a dwa pozostałe na cięciwie paraboli wyznaczonej przez prostą $y=3$.

  4. Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 6, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu równa się $\frac{16}{3}$. Dla jakich $n$ naturalnych spełniona jest nierówność $\left|S-S_n\right|< \frac{1}{96}$?

  5. Dwa jednakowe stożki złożono podstawami. Obliczyć objętość powstałej bryły, jeśli promień kuli wpisanej w tę bryłę wynosi $R$, a punkt styczności kuli i stożka dzieli tworzącą stożka w stosunku $m$ do $n$?

  6. W czworościan foremny $ABCD$ o krawędzi długości $d$ wpisano kulę. Prowadzimy płaszczyzny równoległe do ścian czworościanu i styczne do wpisanej kuli odcinając w ten sposób cztery przystające czworościany foremne. W każdy z nich wpisujemy kulę i postępujemy analogicznie jak z kulą wpisaną w czworościan $ABCD$. Obliczyć sumę objętości wszystkich kul wpisanych w otrzymane czworościany, jeśli proces ten kontynuujemy nieskończenie wiele razy.