Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2017 r.

Poziom podstawowy

  1. W urnie znajduje się 9 kul ponumerowanych od 1 do 9. Losujemy bez zwracania 4 kule i dodajemy ich numery. Ile jest możliwych wyników losowania, w których suma wylosowanych numerów jest parzysta, a ile wyników losowania prowadzi do uzyskania liczby nieparzystej?

  2. Narysuj na płaszczyźnie krzywą $$ y=\left|2^{|x-1|}-2\right| $$ i starannie opisz metodę jej konstrukcji.

  3. Wyznacz dziedzinę funkcji $$ f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)-2\log_2\frac{1}{x-2} }. $$

  4. Rozwiąż równanie $$ {\left(\frac{9}{4}\right)}^x{\left(\frac{8}{27}\right)}^{x-2}\log(27-x)-3\log_{\frac{1}{10}}\frac{1}{\sqrt{27-x}}=0 $$

  5. Narysuj w układzie współrzędnych zbiór $$ A=\left\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;\sqrt{{(x^2-y)}^2}+1<{\big(|x|+1\big)}^2 \right\rbrace. $$

  6. Wśród walców wpisanych w kulę o promieniu $R$ wskaż ten o największym polu powierzchni bocznej. Podaj jego wymiary oraz stosunek pola jego powierzchni całkowitej do pola powierzchni kuli.

Poziom rozszerzony

  1. W finale pewnego konkursu bierze udział 10 osób. Prowadzący wybiera losowo jedną z nich i zadaje jej pytanie finałowe. Obliczyć prawdopodobieństwo, że zapytana osoba udzieli poprawnej odpowiedzi, jeśli wiadomo, że $k$-ty finalista odpowie poprawnie na pytanie finałowe z prawdopodobieństwem $\displaystyle\frac{1}{2^k}$, gdzie $k\in{1,\,\ldots, 10}$.

  2. Rozwiąż równanie $$ x^{\log_3 x-1}=9. $$

  3. Zbadaj, dla jakich argumentów $x$ funkcja $$ f(x)={\big(2-x\big)}^{\frac{3x-4}{2-x}}-1 $$ przyjmuje wartości ujemne.

  4. Podaj dziedzinę i narysuj wykres funkcji $$ f(x)=2\left|\log_{2}\sqrt{|x-1|-1}\right|. $$ Starannie opisz metodę jego konstrukcji. Rozwiąż równanie $f(x)=2$.

  5. Narysuj na płaszczyźnie zbiór $$ A=\left\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; \log_{|x|}\Big(\log_{y+1}\big(|x|+1\big)\Big)\leq0\right\rbrace. $$

  6. Wśród prostopadłościanów wpisanych w kulę o promieniu $R$, których przekątna tworzy kąt $\alpha$ z jedną ze ścian, wskaż ten o największej objętości. Podaj jego wymiary oraz stosunek jego objętości do objętości kuli. Jaki procent objętości kuli stanowi objętość prostopadłościanu dla kąta $\alpha=45^\circ$? Wynik podać z dokładnością do jednego promila.