Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2017 r.

Poziom podstawowy

  1. Pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego jest $a_1=2017$, a jego różnica jest rozwiąza-niem równania $\sqrt{2-x}-x=10$. Obliczyć sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

  2. Spośród dwucyfrowych liczb nieparzystych mniejszych od 50 wylosowano bez zwracania dwie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie wylosowane liczby są pierwsze oraz prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wylosowanych liczb nie jest podzielny przez 15.

  3. Uzasadnić, że ciąg o wyrazach $\displaystyle a_n=\frac{2^n+2^{n+1}+...+2^{2n}}{2^2+2^4+...+2^{2n}},\;n\ge 1,$ nie jest rosnący oraz, że jest rosnący, poczynając od $n=2$.

  4. Znaleźć wszystkie wartości parametru rzeczywistego $m$, dla których proste o równaniach $\;x-my+2m=0,$ $\;2mx+4y+1=0,\;mx-y-3m-1=0$ są parami różne i przecinają się w jednym punkcie. Sporządzić odpowiedni rysunek dla najmniejszej ze znalezionych wartości tego parametru.

  5. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dana jest odległość $d$ środka podstawy od krawędzi bocznej oraz kąt $2\alpha$ między sąsiednimi ścianami bocznymi. Obliczyć objętość ostrosłupa.

  6. Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ jest krótsza od ramion. Wysokości $AD$ i $CE$ dzielą trojkąt na cztery części, z których dwie są trójkątami prostokątnymi o polach równych 9 oraz 2. Obliczyć pola pozostałych części oraz obwód trójkąta.

Poziom rozszerzony

  1. Turysta zabłądził w lesie zajmującym obszar (w km) $$D={(x,y): x^2+y^2\leq 2y+3,\;-2y\le x\le y}.$$ Wskazać mu najkrótszą drogę wyjścia z lasu, jeśli znaduje się w punkcie $$P\left(-\frac{1}{4},\frac{3}{2}\right).$$ Ile minut będzie trwała wędrówka, jeśli idzie z prędkością 4 km/h?

  2. Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnić prawdziwość nierówności $$ 1^5+2^5+...+n^5<\frac{n^3(n+1)^3}{6},\; n\ge 1.$$

  3. Kubuś zaobserwował, że w pewnej chwili w trzypiętrowej kamienicy po drugiej stronie ulicy pali się światło w 10 oknach. Na każdej kondygnacji kamienicy znajdują się 4 okna. Zakładamy, że okna zapalają się i gasną losowo. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zarówno na drugim jak i na trzecim piętrze kamienicy świecą się co najmniej dwa okna.

    Wskazówka: Skorzystać ze wzoru $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

  4. Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości $h=2$ jest trójkąt, w którym tangens kąta przy wierzchołku $A$ wynosi $-\sqrt{2}$. Przekątne $e,\,f$ sąsiednich ścian bocznych, wychodzące z wierzchołka $A$, są do siebie prostopadłe, a liczby $h,e,f$ są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego. Obliczyć objętość graniastosłupa.

  5. Znaleźć dziedzinę i zbiór wartości funkcji $$ f(x)=\sqrt{\log_2\frac{1}{\cos x+\sqrt{3}\sin x}}.$$

  6. Kąt płaski przy wierzchołku $D$ ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o podstawie $ABC$ jest równy $\alpha$. Na krawędzi $BD$ wybrano punkt $E$ tak, że $\triangle ACE$ jest trójkątem równobocznym. Znaleźć stosunek $\,k(\alpha)\,$ objętości ostrosłupa $ABCE$ do objętości ostro-słupa $ACED$ w zależności od kąta $\alpha$. Sporządzić wykres funkcji $k(\alpha)$.