Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2019 r.

Poziom podstawowy

1. Niech $\alpha$ będzie kątem ostrym takim, że $\sin\alpha = \sqrt{15}\cos\alpha.$ Wyznaczyć wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych kątów $\alpha$ oraz $2\alpha.$

2. Rozwiązać nierówność $$ x \geq 2 + \sqrt{10 - 3x}. $$

3. Wykres trójmianu kwadratowego $f(x)=ax^2+bx+c$ jest symetryczny względem prostej $x=3,$ a resztą z jego dzielenia przez wielomian $x-2$ jest -1. Wiadomo też, że $f(0)=3.$ Znaleźć wartości współczynników $a,b,c$ i rozwiązać nierówność $$ \frac{1}{f(x)} \geq \frac{1}{3}. $$

4. W ciągu arytmetycznym, w którym trzeci wyraz jest odwrotnością pierwszego, suma pierwszych ośmiu wyrazów wynosi 25. Obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów o numerach nieparzystych.

5. Pole trapezu równoramiennego, opisanego na okręgu o promieniu 1, wynosi 5. Obliczyć pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu i trapezu.

6. Na szczycie góry, na którą wchodzi Agata po stoku o kącie nachylenia $\beta,$ stoi krowa o wysokości 150 cm. Dziewczynka widzi ją pod kątem $\alpha,$ przy czym przyjmujemy tutaj dla uproszczenia, że punkt obserwacji znajduje się na poziomie drogi. Na jakiej wysokości nad poziomem morza stoi Agata, jeżeli szczyt jest na wysokości 1520 m n.p.m.? Podać wzór i następnie wykonać obliczenia dla $\beta=43^\circ,$ $\alpha=2^\circ.$

Poziom rozszerzony

1. W nieskończonym ciągu geometrycznym, którego suma równa jest 4, trzeci wyraz jest odwrotnością pierwszego. Wyznaczyć pierwszy wyraz i sumę wszystkich wyrazów o numerach parzystych.

2. Narysować wykres funkcji $$ f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{1+\tg^2 x}} $$ i rozwiązać nierówność $f(x)\geq \frac{1}{4}.$

3. Rozwiązać nierówność $$ \sqrt{\frac{4x-2}{x+4}} \leq \frac{2}{x-1} - 1. $$

4. Resztą z dzielenia wielomianu $w(x)=ax^5+bx^2+c$ przez $p(x)=x^3-x^2-2x$ jest wielomian $r(x)=11x^2+12x+1.$ Wyznaczyć wartości współczynników $a,b,c$ oraz rozwiązać nierówność $w(x)\geq (x+1)^2.$

5. Wyznaczyć pole trójkąta równobocznego, którego wierzchołki leżą na trzech różnych prostych równoległych, z których środkowa jest oddalona od skrajnych o $a$ i $b$.

6. W punktach $A(0,0),$ $B(4,0)$ i $C(0,4)$ ustawione są trzy znaczniki. Sensory robota pozwalają ustalić, że z miejsca, w którym znajduje się on obecnie odcinek $AB$ widać pod kątem $\alpha=90^\circ,$ a odcinek $AC$ pod kątem $\beta=60^\circ.$ Ustalić położenie robota w układzie współrzędnych.