Korespondencyjny
Kurs z Matematyki
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2019 r.
Poziom podstawowy
Rozwiązać nierówność $\sqrt{2^x-1}\leq 2^x-3.$
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a,\,b$ obracamy wokół każdej z przyprostokątnych. Obliczyć stosunek sumy objętości tych stożków do objętości bryły otrzymanej przez obrót trójkąta wokół przeciwprostokątnej i wyrazić go jako funkcję zmiennej $\frac{a}{b}.$
Punkty $(-1,1),\,(0,0),\,(\sqrt{2},0)$ są trzema kolejnymi wierzchołkami wielokąta foremnego. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków wielokąta oraz jego pole. Podać równania okręgów wpisanego i opisanego na tym wielokącie oraz wyznaczyć stosunek ich promieni.
Niech $$f(x)= \begin{cases} \begin{array}{ccr} \frac{2-|x|}{|x|-1}&\mbox{gdy} & |x|>\frac{3}{2},\cr \frac{8}{9}x^2-1 &\mbox{gdy} & |x|\leq\frac{3}{2}. \end{array} \end{cases}$$ a) Narysować wykres funkcji $f$ i na jego podstawie wyznaczyć zbiór wartości funkcji.
b) Obliczyć $f\left(\sqrt{2}\right)$ oraz $f\left(\sqrt{3}\right)$.
c) Rozwiązać nierówność $ f(x)\leq-\frac{1}{2}$ i zaznaczyć na osi $0x$ zbiór rozwiązań.
Punkty $A(0,1),\,B(4,3)$ są dwoma kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$, a $S(2,3)$ punktem przecięcia przekątnych. Posługując się rachunkiem wektorowym, wyznaczyć pozostałe wierzchołki równoległoboku oraz wierzchołki równoległoboku otrzymanego przez obrót $ABCD$ wokół punktu $A$ o $90^{\circ}$ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym bok podstawy i wysokość są równe $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jedną z krawędzi podstawy na dwie bryły o tej samej objętości. Wyznaczyć tangens kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy. Sporządzić rysunek.
Poziom rozszerzony
Punkty $A(0,1),\,B(4,3)$ są dwoma kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$, a $S(2,3)$ punktem przecięcia przekątnych. Posługując się rachunkiem wektorowym, wyznaczyć pozostałe wierzchołki równoległoboku oraz wierzchołki równoległoboku $A'B'C'D'$ otrzymanego przez obrót $ABCD$ o kąt $90^{\circ}$ wokół punktu $(0,0)$ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Sprawdzić, że $A'B'C'D'$ jest obrazem $ABCD$ w przekształceniu $T_2\circ O\circ T_1$, gdzie $T_1$ jest przesunięciem o wektor $[0,1]$, $O$ - obrotem o kąt $90^o$ wokół punktu $(0,0)$ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a $T_2$ - przesunięciem o wektor $[1,0]$.
Narysować wykres funkcji\ $$f(x)=1-\frac{2^x}{3^x-2^x}+\left(\frac{2^x}{3^x-2^x}\right)^2-...$$ i uzasadnić, że przyjmuje ona wyłącznie wartości większe niż $\frac{1}{2}.$
Niech $$f(x)=\begin{cases} \begin{array}{rcr} |2^x-1|& \mbox{dla} & x\leq 1,\cr \log_{\frac{1}{2}}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}&\mbox{dla} & x>1. \end{array} \end{cases}$$ a) Narysować wykres funkcji $f$ i na jego podstawie wyznaczyć zbiór wartości funkcji.
b) Obliczyć $ f\left(\log_{\frac{1}{2}}{\left(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\right)}\right)$ oraz $ f\left(2^{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$.
c) Rozwiązać nierówność $ f(x) \leq \frac{1}{2}$ i zaznaczyć na osi $0x$ zbiór rozwiązań.
Punkt $C(0,0)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego, w którym środkowa podstawy $AB$ i wysokość poprowadzona z jednego z wierzchołków $A, B$ przecinają się w punkcie $S(2,1).$ Pole trójkąta $ABS$ jest dwa razy mniejsze niż pole trójkąta $ABC.$ Wyznaczyć współrzędne wierzchołków $A, B$ oraz równanie okręgu opisanego na trójkącie $ABC.$
W ośmiościan foremny wpisano dwa sześciany. Wierzchołki pierwszego z nich leżą na krawędziach ośmiościanu, a wierzchołki drugiego - na wysokościach ścian bocznych. Obliczyć stosunek objętości tych sześcianów.
Prostokąt o bokach $a$ i $2a$ obraca się wokół przekątnej. Obliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanej bryły.