Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2020 r.

Poziom podstawowy

  1. Niemieckie przepisy drogowe wymagają zachowania bezpiecznego odstępu między poruszającymi się w tym samym kierunku pojazdami. Zalecane jest przy tym zachowanie zasady ,,połowa licznika": jeżeli dwa pojazdy jadą z prędkością $x$ km/h, to odstęp między nimi powinien wynosić przynajmniej $x/2$ metrów. Jaki odstęp czasowy powinien zatem dzielić te dwa pojazdy?

    Przyjmując, że dla samochodu jadącego z prędkością $v$ m/s droga hamowania wynosi $s_h=\frac{v^2}{2a}$ metrów (gdzie $a$ jest stałym współczynnikiem hamowania), sprawdź przy jakiej prędkości $x$ km/h dojdzie do wypadku, jeżeli oba pojazdy jechały z minimalnym zalecanym odstępem, pierwszy zatrzymał się nagle (przyjmij $a=10$), a drugi zaczął hamować jedną sekundę później i z siłą taką, że $a=7$.

  2. Jakim kątami mogą być $\alpha$ i $2\alpha,$ jeżeli wiadomo, że $\alpha$ jest kątem ostrym oraz $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{2}?$

  3. Rozważmy funkcję $f(x)=x^2-(a+2)x+3(a-1).$ Dla jakich wartości paramertu $a:$

    (i) cały wykres $f(x)$ leży ponad prostą $y=-1?$

    (ii) oba miejsca zerowe funkcji $f(x)$ są większe od 2?

  4. Rozwiąż nierówność $$ x \leq 1 + \sqrt{2+x}.$$

  5. Narysuj starannie zbiór $A\cap B,$ gdzie $$\begin{array}{ccl} A & = &\left\lbrace (x,y):\: 2|x|+|y| \leq 2\right\rbrace,\cr B & = & \left\lbrace (x,y):\: y^2-y < 2\right\rbrace \end{array}$$
    i oblicz jego pole.

  6. Jednym z wierzchołków kwadratu jest $A(1,-3),$ a jedna z jego przekątnych zawiera się w prostej $y=-2x+2.$ Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu i równanie okręgu wpisanego w ten kwadrat.

Poziom rozszerzony

  1. Wyznacz kąty $\alpha$ i $2\alpha$ wiedząc, iż $\alpha$ jest kątem rozwartym takim, że $\tg \alpha + \ctg \alpha = -2\sqrt{2}.$

  2. Rozwiąż równanie $$ x = \sqrt{5 + \sqrt{3+x^2}}.$$ Nie używając kalkulatora zbadaj, czy jego rozwiązanie jest liczbą większą niż 3.

  3. Udowodnij, że jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają równe obwody i długości przeciwprostokątnych, to są przystające.

  4. Narysuj starannie zbiór $A \cap B,$ gdzie $$\begin{array}{ccl} A & = &\left\lbrace (x,y):\: x^2-8|x|+y^2-8|y|+16 \geq 0,\, |x|\leq 4, |y| \leq 4 \right\rbrace,\cr B & = &\left\lbrace (x,y):\: x^2+y^2 > 16(3-2\sqrt{2})\right\rbrace \end{array}$$ i oblicz jego pole.

  5. Dla jakich wartości parametrów $p$ i $q$ do zbioru rozwiązań równania $$ x^3-3px^2+(q+4)x=0,$$ należą zarówno $p$ jak i $q$?

  6. Napisz równanie prostej $k$ stycznej do okręgu $x^2-4x+y^2+2y=0$ w punkcie $P(3,1).$ Następnie wyznacz równania wszystkich prostych stycznych do tego okręgu, które tworzą z prostą $k$ kąt $45^\circ.$