Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2020 r.

Poziom podstawowy

1. Punkty $K$ i $L$ są środkami boków $AB$ i $CD$ czworokąta $ABCD.$ Wykaż, że $$\overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}).$$ Wykonaj rysunek.

2. W pewnym ciągu geometrycznym każdy (z wyjątkiem pierwszego) wyraz jest różnicą wyrazu następnego i poprzedniego. Znajdź iloraz tego ciągu.

3. Rozwiąż nierówność $$ [\log_{0,2}(x-1)]^2 >4.$$

4. Rozwiąż równanie $$ \sin^2{x} + \frac{1}{2}\sin{2x} = 1.$$

5. Statek płynie prosto w kierunku klifu. Kąt elewacji (kąt utworzony przez linię poziomą i odcinek łączący obserwatora na statku ze szczytem klifu) wynosi początkowo $\alpha,$ ale po przepłynięciu przez statek $d$ metrów wzrasta do $\beta.$ Wyznacz wysokość klifu. Wykonaj obliczenia dla wartości $\alpha= 10^\circ,$ $\beta=15^\circ,$ $d=50.$

6. Obliczyć pole części wspólnej trzech kół o promieniach $r$ i środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku $r\sqrt{2}.$

Poziom rozszerzony

1. Znajdź taki ciąg arytmetyczny, w którym suma pierwszych $n$ wyrazów równa jest $n^2$ dla wszystkich $n\in\mathbb{N}.$

2. W sześciokącie foremnym $ABCDEF$ punkty $M$ i $N$ są środkami boków $CD$ i $DE.$ Wyznacz kąt między wektorami $\overrightarrow{AM}$ i $\overrightarrow{BN}.$

3. Rozwiąż nierówność $$ \log_{2x}(x^2-5x+6)<1. $$

4. Rozwiąż równanie $$ \cos{2x} - 3 \cos{x} = 4\cos^2{\frac{x}{2}}.$$

5. Znajdź najmniejszą wartość ilorazu pola powierzchni bocznej stożka i pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek oraz kąt rozwarcia stożka realizujący tę wartość najmniejszą.

6. Na dachu budynku stoi antena, której wysokość chcemy wyznaczyć nie wchodząc na górę. Urządzenie pomiarowe ustawione w pewnej odległości od budynku zmierzyło kąty między pionem a odcinkiem łączącym punkt pomiaru ze szczytem anteny oraz między pionem a odcinkiem łączącym punkt pomiaru z podstawą anteny. Otrzymano kąty $\alpha_1$ i $\beta_1$ odpowiednio. Następnie przesunięto urządzenie o $d$ metrów w kierunku budynku bez zmiany wysokości punktu pomiarowego i ponowiono pomiary, otrzymując kąty $\alpha_2$ i $\beta_2.$ Podaj wzór na wysokość anteny i wykonaj obliczenia dla kątów $\alpha_1=53^\circ,$ $\beta_1=55^\circ,$ $\alpha_2=51^\circ,$ $\beta_2=53,04^\circ,$ oraz $d=5m.$