Suma wszystkich krawędzi prostopadłościanu o podstawie kwadratowej wynosi $16$ cm. Jakie są wymiary tego prostopadłościanu, który ma największe pole powierzchni całkowitej?
Sporządź wykres funkcji $$f(x) = \left|x^2-4\right|-2x$$ oraz wyznacz liczbę pierwiastków równania $$f(x) = m$$ w zależności od parametru $m$.
Ze zbioru trzech elementów $\left\lbrace a,\,b,\,c \right\rbrace$ pobrano ze zwracaniem próbkę o liczności $9$ elementów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w tej próbie każdy element wystąpi dokładnie trzy razy.
Sześciu przyjaciół $A, B, C, D, E, F$ zajmuje sześć kolejnych miejsc w jednym rzędzie sali kinowej. Na ile sposobów mogą usiąść, aby:
a) osoby $A, B, C$ siedziały jedna obok drugiej (w dowolnej kolejności)?
b) żadne dwie z osób $A, B, C$ nie siedziały obok siebie?
Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta $ABC$, którego boki zawierają się w prostych: $y=2$, $2x-y+10=0$, $4x+3y=0$. Następnie wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta, który jest obrazem trójkąta $ABC$ w jednokładności o środku $O(0,0)$ i skali $-2$. Oblicz pole trójkąta $ABC$ i jego obrazu w tym przekształceniu.
Trójkąt równoboczny $ABC$ o boku 1 dzielimy na cztery przystające trójkąty, łącząc środki jego boków. Usuwamy środkowy trójkąt (krok 1). To samo robimy z każdym z trzech pozostałych trójkątów (krok 2). Proces ten wykonujemy $n$ razy. Jaka jest suma pól usuniętych trójkątów po trzech krokach? Ile kroków wystarczy wykonać, aby suma pól usuniętych trójkątów była większa niż $3/4$ pola wyjściowego trójkąta?
Ile jest czterocyfrowych kodów PIN, w których: a) żadna cyfra się nie powtarza? b) któraś z cyfr się powtarza? Ile kodów jest więcej: tych, w których żadna cyfra się nie powtarza, czy tych, w których któraś z cyfr się powtarza?
Pięciu wioślarzy $A, B, C, D, E$ płynie łodzią, na której znajduje się pięć poprzecznych ławek dwuosobowych. Wioslarze $A, B, C$ mogą usiąść tylko przy prawej burcie, natomiast wioślarze $D$ i $E$ - tylko przy lewej. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że miejsca obok wioślarzy $D$ i $E$ będą zajęte?
Znajdź współrzędne wierzchołka $C$ trójkąta równoramiennego $ABC$, gdzie $A(2,0)$, $B(0,2)$, wiedząc, że środkowe $AD$ i $BE$ przecinają się pod kątem prostym.
W prostokątnym układzie współrzędnych dane są punkty $A(a,0)$ i $B(b,0)$, gdzie $0<a<b$. Znajdź punkt $C(0,c)$, gdzie $c> 0$, dla którego miara kąta $\angle ACB$ jest największa.
Wyznacz wszystkie styczne do wykresu funkcji $f(x)=\frac{x-1}{x+1}\,$ równoległe do prostej $x-2y=0$ i oblicz pole wielokąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia otrzymanych prostych z osiami układu. Wykonaj staranny rysunek.
Kwadrat $ABCD$ o boku $a$ dzielimy na dziewięć przystających kwadratów, dzieląc każdy z boków kwadratu na trzy równe części i usuwamy środkowy kwadrat (krok 1). Następnie to samo robimy w pozostałych ośmiu kwadratach (krok 2). Proces ten powtarzany jest nieskończenie wiele razy. Jaka jest suma pól kwadratów usuniętych w $n$ krokach? Ile kroków wystarczy wykonać, aby suma pól usuniętych kwadratów była większa niż połowa pola wyjściowego kwadratu? Jaka jest suma pól wszystkich usuniętych kwadratów (po nieskończenie wielu krokach)?